The stability of the Kronecker product of Schur functions

In the late 1930’s Murnaghan discovered the existence of a stabilization phenomenon for the Kronecker product of Schur functions. For n large enough, the values of the Kronecker coefficients appearing in the product of two Schur functions of degree n do not depend on the first part of the indexing partitions, but only on the values of their remaining parts. We compute the exact value of n when this stable expansion is reached. We also compute two new bounds for the stabilization of a particular coefficient of such a product. Given partitions α and β, we give bounds for all the parts of any partition γ such that the corresponding Kronecker coefficient is nonzero. Finally, we also show that the reduced Kronecker coefficients are structure coefficients for the Heisenberg product introduced by Aguiar, Ferrer and Moreira. Résumé. Dans les années 30 Murnaghan a découvert une propriété de stabilité pour le produit de Kronecker de fonctions de Schur. En degré assez grand, les valeurs des coefficients qui aparaissent dans le produit de Kronecker de deux fonctions de Schur ne dépendent pas de la première part des partitions en indice, mais seulement des parts suivantes. Dans ce travail nous calculons la valeur exacte du degré partir duquel ce développement stable est atteint. Nous calculons aussi deux nouvelles bornes supérieures pour la stabilisation d’un coefficient particulier d’un tel produit. Nous donnons en outre, pour α et β fixés, des bornes supérieures pour toutes les parts des partition γ rendant le coefficient de Kronecker d’indices α, β, γ non–nul. Finalement, nous identifions les coefficients de Kronecker réduits comme des constantes de structures pour le produit de Heisenberg de fonctions symétriques défini par Aguiar, Ferrer et Moreira. Resumen. Hace poco más de 80 años Murnaghan descubrió un fenómeno de estabilidad para el producto de Kronecker de dos funciones de Schur. En grado suficientemente grande, los valores de los coeficientes de Kronecker que aparecen en el producto de Kronecker de dos funciones de Schur, no dependen de las primeras partes de las particiones que las indexan, sino solamente de sus demás partes. En este trabajo calculamos exactemente cuando este desarrollo estable esta alcanzado. También calculamos dos nuevas cotas para que cualquier familia dada de coeficientes de Kronecker se estabilice. Dadas dos particiones α y β, proporcionamos cotas superiores para todas las partes de cualquier partición γ tal que el coeficiente de Kronecker correspondiente no sea nulo. Finalmente, identificamos los coeficientes de Kronecker reducidos como constantes de estructura del producto de Heisenberg de funciones simétricas, introducido por Aguiar, Ferrer y Moreira.